Toán học: Lăng trụ tam giác đều

Hình học không gian là một trong những môn học quan trọng của toán học. Trong hình học không gian có rất nhiều dạng khác nhau. Hôm nay, hãy cũng mình tìm hiểu về lăng trụ tam giác đều nhé! Qua bài dưới đây, bạn sẽ được sơ lược lại về định nghĩa, tính chất và một số công thức của hình lăng trụ và hình lăng trụ đứng. Đồng thời, học thêm về các công thức tính của hình lăng trụ tam giác đều. Bao gồm các công thức: tính diện tích đáy của hình lăng trụ tam giác đều, tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ tam giác đều và tính thể tích của hình lăng trụ tam giác đều.

Đầu tiên, để biết được lăng trụ tam giác đều là gì, hãy cũng mình tìm hiểu về khái niệm hình lăng trụ và lăng trụ đứng nhé.

1) Hình lăng trụ và hình lăng trụ đứng.

a) Định nghĩa và công thức về hình lăng trụ

Trong toán học không gian, hình lăng trụ được xác định là một loại đa diện. Loại đa diện này có 2 mặt đáy là các đa giác phẳng. Còn cách mặt còn lại của hình lăng trụ là các hình bình hành.

Theo công thức toán học, thể tích của hình lăng trụ sẽ được tính như sau:

V=B.h

Trong đó:

• V là thể tích hình lăng trụ.
• B là diện tích của mặt đáy.
• h là khoảng cách giữa 2 mặt đáy/chiều cao hình lăng trụ.

b) Định nghĩa và công thức về hình lăng trụ đứng

Hình lăng trụ đứng được xác định là hình lăng trụ có cạnh bên và mặt đáy vuông góc với nhau.

Thuật ngữ: Thông thường thì ta gặp hình lăng trụ đều có đáy là tam giác hoặc hình vuông trong nhiều bài toán. Người ta thường gọi tắt trường hợp đó với các thuật ngữ là hình lăng trụ tam giác đều, lăng trụ tứ giác đều.

Các tính chất cơ bản của hình lăng trụ đứng bao gồm:

• Mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật.
• Tất cả các mặt bên của hình lăng trụ đứng đều vuông góc với đáy.

Theo công thức toán học, diện tích của hình lăng trụ đứng được tính như sau:

• Diện tích xung quanh của lăng trụ đứng = Tổng diện tích các mặt bên = (Chu vi đáy)x(Chiều cao)
• Diện tích toàn phần của lăng trụ đứng = Tổng diện tích các mặt bên và diện tích 2 đáy.

Cũng theo công thức toán học, diện tích hình lăng trụ đứng vẫn được tính theo công thức:

V = B.h

Trong đó,

• V là thể tích hình lăng trụ.
• B là diện tích của mặt đáy.
• h là chiều cao hình lăng trụ.

2) Hình lăng trụ tam giác đều

a) Định nghĩa hình lăng trụ tam giác đều

Hình lăng trụ tam giác đều được xác định là hình lăng trụ đứng với đáy là tam giác đều.

Hình mô tả của hình lăng trụ tam giác đều:

Như vậy, hình lăng trụ tam giác đều sẽ có các tính chất cơ bản sau:

• Hai đáy là hai tam giác đều và bằng nhau.
• Các mặt bên là các hình chữ nhật bằng nhau.
• Các mặt bên và hai đáy vuông góc với nhau.

b) Các công thức toán học của lăng trụ tam giác đều

Theo toán học, lăng trụ tam giác đều có các công thức như sau:

• Diện tích đáy: S = a² . (√3)/4. 

Trong đó, a là chiều dài cạnh đáy của lăng trụ tam giác đều.

• Diện tích xung quanh của lăng trụ tam giác đều = Tổng diện tích các mặt bên = (Chu vi đáy) x (Chiều cao) : S = 3.a.h.
• Diện tích toàn phần của lăng trụ tam giác đều = Tổng diện tích các mặt bên và diện tích 2 đáy: S = 3.a.h + a² . (√3)/4.

Trong đó, a là chiều dài cạnh đáy của lăng trụ tam giác đều, h là chiều cao của lăng trụ tam giác đều.

• Thể tích của lăng trụ tam giác đều = (Diện tích đáy) x (Chiều cao): V = a² . (√3)/4 . h

Trong đó, a là chiều dài cạnh đáy của lăng trụ tam giác đều, hi là chiều cao của lăng trụ tam giác đều.

c) Một số bài tập về hình lăng trụ tam giác đều

Bài tập 1: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ (đáy là tam giác ABC và A’B’C’) với chiều dài cạnh đáy AB của hình lăng trụ này là 4 cm. Đồng thời, biết được diện tích của hình tam giác A’BC là 8 cm² . Hãy xác định chiều cao và thể tích của khối lăng trụ này.

Bài tập 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ (đáy là tam giác ABC và A’B’C’) với chiều cao AA’ của hình lăng trụ là 2 cm và diện tích của hình tam giác A’BC là 8 cm² . Hãy xác định chiều dài cạnh đáy, diện tích đáy, diện tích toàn phần và thể tích của khối lăng trụ này.

Bài tập 3: 

Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA′=BC=a.AA′=BC=a.

A. V=a33√12V=a3312

B. V=a33√4V=a334

C. V=a32√6V=a326

D. V=a33

Đáp án đúng: B

Lý giải: ABC là tam giác đều cạnh nên: SABC=a23√4.SABC=a234.

Khi đó VABC.A′B′C′=SABC.AA′=a33√4.VABC.A′B′C′=SABC.AA′=a334.

Bài tập 4: Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a.

A. a32a32

B. a33√2a332

C. a33√4a334

D. a33√12a3312

Đáp án đúng: C

Lý giải: Khối lăng trụ của đáy là tam giác đều cạnh a, chiều cao h=a. Nên suy ra có thể tích là: V=Sday.h=a23√4.a=a33√4

Bài tập 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB=3cm; AD=6cm và độ dài đường chéo AC’=9cm . Tính thể tích V của hình hộp ABCD.A’B’C’D’?

A. V=108cm3V=108cm3

B. V=81cm3V=81cm3

C. V=102cm3V=102cm3

D. V=90cm3V=90cm3

Đáp án đúng: A

Lý giải: Ta có: AC=BD=AB2+AD2−−−−−−−−−−√=35√AC=BD=AB2+AD2=35
CC′=AC′2−AC2−−−−−−−−−−√=6CC′=AC′2−AC2=6

Vậy thể tích hình hộp là:VABCD.A′B′C′D′=3.6.6=108

Hi vọng các thông tin trên đây sẽ giúp ích cho bạn trong môn hình học không gian. Các công thức toán học về diện tích và thể tích của hình lăng trụ tam giác đều trên đây sẽ giúp bạn tính toán nhanh hơn. Chúc bạn học tập hiệu quả hơn nhé!