Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ lớp 9 Ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9

Bạn đang xem bài viết Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ lớp 9 Ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 tại Thptlequydontranyenyenbai.edu.vn bạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.

Phương pháp giải phương trình vô tỉ lớp 9 là tài liệu hữu ích, tổng hợp 34 trang, tuyển tập toàn bộ kiến thức lý thuyết về phương pháp, bài tập phương trình vô tỉ có đáp án chi tiết kèm theo.

Chuyên đề phương trình vô tỉ được biên soạn khoa học, phù hợp với mọi đối tượng học sinh có học lực từ trung bình, khá đến giỏi. Với mỗi phương pháp giải lại bao gồm nhiều dạng bài tập tổng hợp với nhiều câu hỏi thường xuyên xuất hiện trong các đề thi. Qua đó giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng và luyện giải đề để học tốt Toán 9. Nội dung chi tiết tài liệu, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Mục Lục Bài Viết

I. Phương pháp 1: Nâng lũy thừa

A. Lí thuyết

$Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ lớp 9 Ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9$

$2/ sqrt{f(x)}=g(x) Leftrightarrowleft{begin{array}{l}g(x) geq 0 \ f(x)=g^{2}(x)end{array}right.$

$3/ sqrt{f(x)}+sqrt{g(x)}=sqrt{h(x)} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}f(x) geq 0 \ g(x) geq 0 \ f(x)+g(x)+2 sqrt{f(x) cdot g(x)}=h(x)end{array}right.$

$4 / sqrt[2 n]{f(x)}=sqrt[2 n]{g(x)} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}f(x) geq 0 \ g(x) geq 0 \ f(x)=g(x)end{array} quadleft(n in N^{*}right)right.$

$5/ sqrt[2 n]{f(x)}=g(x) Leftrightarrowleft{begin{array}{l}g(x) geq 0 \ f(x)=g^{2 n}(x)end{array} quadleft(n in N^{*}right)right.$

B. Bài tập

Bài 1: Giải phương trình: $sqrt{x+1}=x-1 (1)$

$HD: (1) Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x-1 geq 0 \ x+1=(x-1)^{2}end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x geq 1 \ x^{2}-3 x=0end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x geq 1 \ x=3end{array} Leftrightarrow x=3right.right.right.$

Bài 2: Giải phương trình: $x-sqrt{2 x+3}=0$

Bài 3: Giải phương trình: $sqrt{x+4}-sqrt{1-x}=sqrt{1-2 x}$

$HD: Ta có: sqrt{x+4}-sqrt{1-x}=sqrt{1-2 x} Leftrightarrow sqrt{x+4}=sqrt{1-2 x}+sqrt{1-x}$

$Leftrightarrowleft{begin{array}{l}1-2 x geq 0 \ 1-x geq 0 \ x+4=1-2 x+1-x+2 sqrt{(1-2 x)(1-x)}end{array}right.$

$Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x leq frac{1}{2} \ 2 x+1=sqrt{2 x^{2}-3 x+1}end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x leq frac{1}{2} \ 2 x+1 geq 0 \ (2 x+1)^{2}=2 x^{2}-3 x+1end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}frac{-1}{2} leq x leq frac{1}{2} \ x^{2}+7 x=0end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}frac{-1}{2} leq x leq frac{1}{2} \ {left[begin{array}{l}x=0 \ x=-7end{array} Leftrightarrow x=0right.}end{array}right.right.right.right.$

Bài 4: Giải phương trình: $sqrt{x-2}-3 sqrt{x^{2}-4}=0$

HD: ĐK: $left{begin{array}{l}x-2 geq 0 \ x^{2}-4 geq 0end{array} Leftrightarrow x geq 2(1)right.$

$Leftrightarrow sqrt{x-2}-3 sqrt{(x-2)(x+2)}=0$

$Leftrightarrowleft[begin{array} { l } { sqrt { x - 2 } = 0 } \ { ( 1 - 3 sqrt { x + 2 } ) = 0 } end{array} Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=2 \ x=frac{-17}{9} end{array}right.right.$

Kết hợp (1) và (2) ta được: $mathrm{x}=2$

Bài 5. Giải phương trình : $sqrt{sqrt{3}-x}=x sqrt{sqrt{3}+x}$

Khám Phá Thêm: Giáo án Khoa học tự nhiên 8 sách Chân trời sáng tạo Kế hoạch bài dạy KHTN 8 năm 2023 - 2024

HD:Đk: $0 leq x leq sqrt{3}$ khi đó pt đã cho tương đương:

$x^{3}+sqrt{3} x^{2}+x-sqrt{3}=0 Leftrightarrowleft(x+frac{1}{sqrt{3}}right)^{3}=frac{10}{3 sqrt{3}} Leftrightarrow x=frac{sqrt[3]{10}-1}{sqrt{3}}$
Bài 6. Giải phương trình sau : $2 sqrt{x+3}=9 x^{2}-x-4$

HD:Đk: $x geq-3$ phương trình tương đương :

$(1+sqrt{3+x})^{2}=9 x^{2} Leftrightarrowleft[begin{array} { l } { sqrt { x + 3 } + 1 = 3 x } \ { sqrt { x + 3 } + 1 = - 3 x } end{array} Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=1 \ x=frac{-5-sqrt{97}}{18} end{array}right.right.$

Bài 7. Giải phương trình sau : $2+3 sqrt[3]{9 x^{2}(x+2)}=2 x+3 sqrt[3]{3 x(x+2)^{2}}$

HD: $mathrm{pt} Leftrightarrow(sqrt[3]{x+2}-sqrt[3]{3 x})^{3}=0 Leftrightarrow x=1$

Bài 8. Giải và biện luận phương trình: $sqrt{mathrm{x}^{2}-4}=mathrm{x}-mathrm{m}$

………..

II. Phương pháp 2: Đưa về phương trình tuyệt đối

A,. Kiến thức

Sử dụng hằng đẳng thức sau

$sqrt{f^{2}(x)}=g(x) Leftrightarrow|f(x)|=g(x) Leftrightarrow begin{cases}f(x)=g(x) & (f(x) geq 0) \ f(x)=-g(x) & (f(x)<0)end{cases}$

B. Bài tập

Bài 1: Giải phương trình: $sqrt{mathrm{x}^{2}-4 mathrm{x}+4}+mathrm{x}=8(1)$

$underline{mathrm{HD}}:(1) Leftrightarrow sqrt{(mathrm{x}-2)^{2}}=8-mathrm{x} quad Leftrightarrow|mathrm{x}-2|=8-mathrm{x}$

– Nếu x<2:(1) $Rightarrow$ 2-x=8-x (vô nghiệm)

– Nếu $mathrm{x} geq 2:(1) Rightarrow mathrm{x}-2=8-mathrm{x} Leftrightarrow mathrm{x}=5 (thoả mãn) Vậy: mathrm{x}=5$

Bài 2: Giải phương trình

$sqrt{x+2+2 sqrt{x+1}}+sqrt{x+10-6 sqrt{x+1}}=2 sqrt{x+2-2 sqrt{x+1}} (2)$

$underline{H D}:(2) Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x+1 geq 0 \ sqrt{x+1+2 sqrt{x+1}+1}+sqrt{x+1-2.3 sqrt{x+1}+9}=2 sqrt{x+1-2 sqrt{x+1}+1}end{array}right.$

$Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x geq-1 \ sqrt{x+1}+1+|sqrt{x+1}-3|=2|sqrt{x+1}-1|end{array}right.$

Đặt $mathrm{y}=sqrt{mathrm{x}+1}(mathrm{y} geq 0) Rightarrow$ phương trình left({ }^{*}right) đã cho trở thành: $mathrm{y}+1+|mathrm{y}-3|=2|mathrm{y}-1|$

– Nếu $0 leq mathrm{y}<1: mathrm{y}+1+3-mathrm{y}=2-2 mathrm{y} Leftrightarrow mathrm{y}=-1 (loại)$

– Nếu $1 leq mathrm{y} leq 3: mathrm{y}+1+3-mathrm{y}=2 mathrm{y}-2 Leftrightarrow mathrm{y}=3$

– Nếu $mathrm{y}>3: mathrm{y}+1+mathrm{y}-3=2 mathrm{y}-2$ (vô nghiệm)

Với $mathrm{y}=3 Leftrightarrow mathrm{x}+1=9 Leftrightarrow mathrm{x}=8$ (thoả mãn)

Vậy: $mathrm{x}=8$

Bài 3: Giải phương trình: $sqrt{x-2+sqrt{2 x-5}}+sqrt{x+2+3 sqrt{2 x-5}}=7 sqrt{2}$

$mathrm{HD}: Ð mathrm{~K}: x geq frac{5}{2} mathrm{PT} Leftrightarrow sqrt{2 x-5+2 sqrt{2 x-5}+1}+sqrt{2 x-5+6 sqrt{2 x-5}+9}=14$

$Leftrightarrow|sqrt{2 x-5}+1|+|sqrt{2 x-5}+3|=14 Leftrightarrow sqrt{2 x-5}=5 Leftrightarrow x=15 (Thoả mãn)$ Vậy: x=15

Bài 4: Giải phương trình: $sqrt{x+2 sqrt{x-1}}+sqrt{x-2 sqrt{x-1}}=2$

HD:ĐK: $x geq 1$

$mathrm{Pt} Leftrightarrow sqrt{x-1+2 sqrt{x-1}+1}+sqrt{x-1-2 sqrt{x-1}+1}=2 Leftrightarrow sqrt{x-1}+1+|sqrt{x-1}-1|=2$

Nếu $x>2 pt Leftrightarrow sqrt{x-1}+1+sqrt{x-1}-1=2 Leftrightarrow x=2 (Loại)$

Nếu $x leq 2 mathrm{pt} Leftrightarrow sqrt{x-1}+1+1-sqrt{x-1}=2 Leftrightarrow 0 x=0 (Luôn đúng với forall x)$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S={x in R mid 1 leq x leq 2}$

…………………

III. Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ

1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường

Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ, để giải chúng ta có thể đặt t=f(x) và chú ý điều kiện của t nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến t quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo t thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn”.

Bài 1. Giải phương trình: $sqrt{x-sqrt{x^{2}-1}}+sqrt{x+sqrt{x^{2}-1}}=2$

HD: Điều kiện: $x geq 1$

Nhận xét. $sqrt{x-sqrt{x^{2}-1}} cdot sqrt{x+sqrt{x^{2}-1}}=1$

Đặt $t=sqrt{x-sqrt{x^{2}-1}}$ thì phương trình có dạng: $t+frac{1}{t}=2 Leftrightarrow t=1$ . Thay vào tìm được x=1 $x=1-sqrt{2} và x=2+sqrt{3}$

Bài 2. Giải phương trình: $2 x^{2}-6 x-1=sqrt{4 x+5}$

HD: Điều kiện: $x geq-frac{4}{5}$

Đăt $t=sqrt{4 x+5}(t geq 0)$ thì $x=frac{t^{2}-5}{4}$ . Thay vào ta có phương trình sau:

$begin{aligned} 2 cdot frac{t^{4}-10 t^{2}+25}{16} &-frac{6}{4}left(t^{2}-5right)-1=t Leftrightarrow t^{4}-22 t^{2}-8 t+27=0 \ Leftrightarrow &left(t^{2}+2 t-7right)left(t^{2}-2 t-11right)=0 end{aligned}$

Ta tìm được bốn nghiệm là: $t_{1,2}=-1 pm 2 sqrt{2} ; t_{3,4}=1 pm 2 sqrt{3}$

Do $t geq 0$ nên chỉ nhận các giá trị $t_{1}=-1+2 sqrt{2}, t_{3}=1+2 sqrt{3}$

Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình 1 : $x=1-sqrt{2} và x=2+sqrt{3}$

Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện $2 x^{2}-6 x-1 geq 0$

Khám Phá Thêm: Tiếng Anh 9 Unit 12: Từ vựng Từ vựng tiếng Anh lớp 9 Unit 12

Ta được: $x^{2}(x-3)^{2}-(x-1)^{2}=0$ , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng.

Đơn giản nhất là ta đặt : $2 y-3=sqrt{4 x+5}$ và đưa về hệ đối xứng (Xem phần đặt ẩn phụ đưa về hệ)

Bài 3. Giải phương trình sau: $x+sqrt{5+sqrt{x-1}}=6$

HD: Điều kiện: $1 leq x leq 6$

Đặt $y=sqrt{x-1}(y geq 0)$ thì phương trình trở thành:

$begin{aligned} &y^{2}+sqrt{y+5}=5 Leftrightarrow y^{4}-10 y^{2}-y+20=0 text { ( với } \ &y leq sqrt{5}) Leftrightarrowleft(y^{2}+y-4right)left(y^{2}-y-5right)=0 Leftrightarrow y=frac{1+sqrt{21}}{2}left(text { loại), } y=frac{-1+sqrt{17}}{2}right. end{aligned}$

Từ đó ta tìm được các giá trị của $x=frac{11-sqrt{17}}{2}$

Bài 4. Giải phương trình sau : $x=(2004+sqrt{x})(1-sqrt{1-sqrt{x}})^{2}$

HD: $mathrm{~K}: 0 leq x leq 1$

Đặt $y=sqrt{1-sqrt{x}}$ thì phương trình trở thành:

$2(1-y)^{2}left(y^{2}+y-1002right)=0 Leftrightarrow y=1 Leftrightarrow x=0$

Bài 5. Giải phương trình sau : $x^{2}+2 x sqrt{x-frac{1}{x}}=3 x+1$

HD:Điều kiện: $-1 leq x<0$

Chia cả hai vế cho x ta nhận được : $x+2 sqrt{x-frac{1}{x}}=3+frac{1}{x}$ . Đặt $t=x-frac{1}{x}$ , ta giải được.

Bài 6. Giải phương trình : $x^{2}+sqrt[3]{x^{4}-x^{2}}=2 x+1$

HD: x=0 không phải là nghiệm, Chia cả hai vế cho x ta được: $left(x-frac{1}{x}right)+sqrt[3]{x-frac{1}{x}}=2$

Đặt $mathrm{t}=sqrt[3]{x-frac{1}{x}}$ , Ta có : $t^{3}+t-2=0 Leftrightarrow t=1 Leftrightarrow x=frac{1 pm sqrt{5}}{2}$

Bài 7. Giải phương trình: $3 x^{2}+21 x+18+2 sqrt{x^{2}+7 x+7}=2$

HD: Đặt $y =sqrt{x^{2}+7 x+7} ; y geq 0$

Phương trình có dạng: $3 y^{2}+2 y-5=0 Leftrightarrowleft[begin{array}{l}y=frac{-5}{3} \ y=1end{array} Leftrightarrow y=1right.$

……………

Mời các bạn tải File tài liệu để xem thêm nội dung chi tiết

Cảm ơn bạn đã xem bài viết Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ lớp 9 Ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 tại Thptlequydontranyenyenbai.edu.vn bạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.

I. Phương pháp 1: Nâng lũy thừa

II. Phương pháp 2: Đưa về phương trình tuyệt đối

III. Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ

Bài Viết Liên Quan