Hướng dẫn tìm công thức truy hồi của dãy số Công thức truy hồi

Bạn đang xem bài viết Hướng dẫn tìm công thức truy hồi của dãy số Công thức truy hồi tại Thptlequydontranyenyenbai.edu.vn bạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.

Công thức truy hồi là tài liệu không thể thiếu đối với các bạn học sinh lớp 11, 12. Công thức truy hồi hướng dẫn phương pháp tìm công thức tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi thông qua một số ví dụ minh họa.

Thông qua tài liệu này các bạn có thêm nhiều tài liệu học tập, củng cố kiến thức nâng cao kỹ năng giải Toán. Bên cạnh đó các bạn tham khảo thêm Công thức cấp số cộng, công thức cấp số nhân. Vậy dưới đây là nội dung chi tiết Hướng dẫn tìm công thức truy hồi của dãy số, mời các bạn cùng tải tại đây.

Mục Lục Bài Viết

Hướng dẫn tìm công thức truy hồi của dãy số

1. Nội dung chính tài liệu công thức truy hồi

Dạng 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số (dạng đa thức) khi biết các số hạng đầu tiên

Dạng 2: Dạng cơ sở: Cho dãy (un) biết u1 = a và un+1 = q.un + d ∀ n ≥ 1 với q, d là các hằng số thực

Khám Phá Thêm: Bộ đề thi học kì 2 môn tiếng Anh lớp 5 năm 2022 - 2023 8 đề thi Tiếng Anh học kì 2 lớp 5 (Có đáp án)

Gồm 4 trường hợp, dạng này được gọi là dạng cơ sở vì:

+ Với 3 trường hợp 1, 2, và 3 dãy số trở thành các dãy đặc biệt đó là: dãy số hằng, cấp số cộng và cấp số nhân. Các dãy số này ta đều đã tìm được công thức của số
hạng tổng quát.

+ Trên cơ sở của 3 dãy này, để giải trường hợp 4: bằng phương pháp đặt một dãy số mới (vn) liên hệ với dãy số (un) bằng một biểu thức nào đó để có thể đưa được về dãy số (vn) mà (vn) dãy số hằng hoặc cấp cộng hoặc cấp số nhân.

+ Vấn đề đặt ra là: Mối liên hệ giữa (un) và (vn) bởi biểu thức nào mới có thể đưa dãy số (vn) thành dãy số hằng hoặc cấp số cộng hoặc cấp số nhân hoặc trường hợp 4.

2. Cách tìm công thức truy hồi

Dạng 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số (dạng đa thức) khi biết các số hạng đầu tiên

Ví du 1.1: Cho dãy số $Hướng dẫn tìm công thức truy hồi của dãy số Công thức truy hồi$ có dạng khai triển sau: 1 ;-1 ;-1 ; 1 ; 5 ; 11 ; 19 ; 29 ; 41 ; 55 ; ……..

Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát và tìm số tiếp theo?

Bài giải

Nhận xét: Với 10 số hạng đầu thế này, để tìm ra quy luật biểu diễn là rất khó. Với những cách cho này ta thường làm phương pháp sau:

Đặt:

$begin{aligned} &Delta u_{k}=u_{k+1}-u_{k} \ &Delta^{2} u_{k}=Delta u_{k+1}-Delta u_{k} \ &Delta^{3} u_{k}=Delta^{2} u_{k+1}-Delta^{2} u_{k} end{aligned}$

Ta lập bảng các giá trị $Delta u_{k}, Delta^{2} u_{k}, Delta^{3} u_{k} ldots$ . . nếu đến hàng nào có giá trị không đổi thì dừng lại, sau đó kết luận $u_{n}$ là đa thức bậc 1,2,3, ………….và ta đi tìm đa thức đó.

Khám Phá Thêm: Đơn đề nghị cấp học bổng chính sách (2 mẫu) Mẫu đơn xin học bổng mới nhất

Dạng 2: Dạng cơ sở:

Cho dãy $left(u_{n}right) biết left{begin{array}{l}u_{1}=a \ u_{n+1}=q u_{n}+d, quad n geq 1end{array}right.$

Với q,d là các hằng số thực.

GIẢI:

– Trường hợp 1: Nếu $q=0 Rightarrowleft{begin{array}{l}u_{1}=a \ u_{n+1}=d, n geq 1end{array}right. Rightarrow u_{1}=a, u_{n}=d, forall n in mathbb{N}^{*}, n geq 2$

-Trường hợp 2: Nếu $q=1 Rightarrowleft{begin{array}{l}u_{1}=a \ u_{n+1}=u_{n}+d, n geq 1end{array}right.$

$Rightarrowleft(u_{n}right)$ là cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1}=a$ và công sai bằng d

$Rightarrow u_{n}=a+(n-1) d$

-Trường hợp 3: Nếu $d=0 Rightarrowleft{begin{array}{l}u_{1}=a \ u_{n+1}=q u_{n}, n geq 1end{array}right.$

$Rightarrowleft(u_{n}right)$ là cấp số nhân với số hạng đầu $u_{1}=a$ và công bội bằng q

$Rightarrow u_{n}=a cdot q^{n-1}$

-Trường hợp 4: Nếu $q neq 0, q neq 1, d neq 0$ . Đặt dãy $left(v_{n}right) sao cho u_{n}=v_{n}+frac{d}{1-q}(1)$

Thay ct(1) vào công thức truy hồi ta có:

$begin{aligned} &v_{n+1}+frac{d}{1-q}=qleft(v_{n}+frac{d}{1-q}right)+d \ &Rightarrow v_{n+1}=q v_{n}, n geq 1 end{aligned}$
$Rightarrowleft(v_{n}right)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu $v_{1}=u_{1}-frac{d}{1-q}=a-frac{d}{1-q}$ và công bội bằng q

Ví du 2.1: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy $Hướng dẫn tìm công thức truy hồi của dãy số Công thức truy hồi$ biết:

$1) left{begin{array}{l}u_{1}=-1 \ u_{n+1}=u_{n}+3, n geq 1end{array}right. 2) left{begin{array}{l}u_{1}=1 \ u_{n+1}=2 u_{n}+3, n geq 1end{array}right. left(right. Ðs: left.u_{n}=3 n-4right)$

(Đs: $u_{n}=4.2^{n-1}-3$ )

Giải:

$1) left{begin{array}{l}u_{1}=-1 \ u_{n+1}=u_{n}+3, n geq 1end{array}right.$

Vì $u_{n+1}=u_{n}+3, n geq 1$

$Rightarrowleft(u_{n}right)$ là một cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1}=-1$ và công sai d=3

$Rightarrow u_{n}=u_{1}+(n-1) d=-1+3(n-1)=3 n-4$

$2) left{begin{array}{l}u_{1}=1 \ u_{n+1}=2 u_{n}+3, n geq 1end{array}right.$

Nhận xét: Dãy số này có dạng 1 với q=1, d=3

Đặt dãy $left(v_{n}right)$ sao cho: $u_{n}=v_{n}+frac{d}{1-q}=v_{n}-3 (1)$

Thay (1) vào công thức truy hồi ta được

$v_{n+1}-3=2left(v_{n}-3right)+3 Rightarrow v_{n+1}=2 v_{n}$

$Rightarrowleft(v_{n}right)$ là cấp số nhân với số hạng đầu $v_{1}=u_{1}+3=1+3=4$ và công bội q=2

$Rightarrow v_{n}=4.2^{n-1}=2^{n+1}$

$Rightarrow u_{n}=v_{n}-3=2^{n+1}-3$

Nhân xét: Câu 1: $left{begin{array}{l}u_{1}=-1 \ u_{n+1}=u_{n}+3, n geq 1end{array}right.$

Còn có các cách sau:

Cách 2:

Ta có:

$begin{aligned} &u_{1}=-1 \ &u_{2}=u_{1}+3 \ &u_{3}=u_{2}+3 end{aligned}$

$4. u_{n}=u_{n-1}+3$

Cộng vế với vế các hệ thức trên ta được:

$begin{aligned} &u_{1}+u_{2}+u_{3}+ldots ldots+u_{n}=-1+u_{1}+u_{2}+u_{3}+ldots . .+u_{n-1}+3(n-1) \ &Rightarrow u_{n}=-1+3(n-1) \ &Rightarrow u_{n}=3 n-4 end{aligned}$

…………..

Mời các bạn tải File tài liệu để xem thêm về Công thức truy hồi

Cảm ơn bạn đã xem bài viết Hướng dẫn tìm công thức truy hồi của dãy số Công thức truy hồi tại Thptlequydontranyenyenbai.edu.vn bạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.

Hướng dẫn tìm công thức truy hồi của dãy số

1. Nội dung chính tài liệu công thức truy hồi

2. Cách tìm công thức truy hồi

Bài Viết Liên Quan