Giải Toán 9 Bài 6: Cung chứa góc Giải SGK Toán 9 Hình học Tập 2 (trang 86, 87)

Vẽ hình minh họa:

*Dự đoán : Quỹ tích điểm I là cung chứa góc 135º dựng trên đoạn BC.

* Chứng minh :

Phần thuận :

Điểm A luôn nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc 90^circ nên quỹ tích điểm A là đường tròn đường kính BC.

Xét tam giác ABC vuông tại A nên  lại có BI là phân giác góc B và CI là phân giác góc C nên

Xét tam giác IBC có

Nên số đo góc BIC luôn không đổi.

Vậy khi điểm A thay đổi trên đường tròn đường kính BC thì điểm I thay đổi và luôn nhìn đoạn thẳng BC dưới một góc

Vậy điểm I thuộc hai cung chứa góc dựng trên đoạn BC.

Phần đảo:

Chứng minh mọi điểm I thuộc cung chứa góc 135º dựng trên đoạn BC, đều có tam giác ABC thỏa mãn điều kiện.

+ Lấy I trên cung chứa góc 135º dựng trên đoạn BC

+ Kẻ tia Bx sao cho BI là phân giác của góc CBx

+ Kẻ tia Cy sao cho CI là phân giác của góc BCy

+ Bx cắt Cy tại A.

Khi đó I là giao điểm của hai đường phân giác trong tam giác ABC

Ta có:

Vậy ΔABC vuông tại A thỏa mãn đề bài.

Kết luận: Quĩ tích các điểm I là hai cung chứa góc dựng trên đoạn BC.

Vẽ hình 

Dự đoán: Quỹ tích cần tìm là nửa đường tròn đường kính AB.

Chứng minh:

Phần thuận:

Ta đã biết rằng hai đường chéo hình thoi vuông góc với nhau hay  tại O.

Vậy điểm O nhìn AB cố định dưới góc

Quỹ tích điểm O là nửa đường tròn đường kính AB.

Phần đảo:

Chứng minh với mọi điểm O thuộc nửa đường tròn đường kính AB ta đều có hình thoi ABCD thỏa mãn đề bài.

+ Lấy điểm O thuộc nửa đường tròn đường kính AB

+ Lấy C đối xứng với A qua O

+ Lấy D đối xứng với B qua O.

Tứ giác ABCD có AC cắt BD tại O là trung điểm mỗi đường

⇒ ABCD là hình bình hành.

Mà O thuộc nửa đường tròn đường kính AB

⇒ AC ⊥ DB

⇒ Hình bình hành ABCD là hình thoi.

Kết luận: Quỹ tích điểm O là nửa đường tròn đường kính AB (khác A và B)

Vẽ hình:

Trình tự dựng như sau:

– Dựng đoạn thẳng AB = 3cm (dùng thước đo chia khoảng mm).

– Dựng góc  (dùng thước đo góc và thước thẳng).

– Dựng tia Ay vuông góc với Ax (dùng êke).

– Dựng đường trung trực d của đoạn thẳng AB (dùng thước có chia khoảng và êke). Gọi O là giao điểm của d và Ay.

– Dựng đường tròn tâm O, bán kính OA (dùng compa).

Ta có: là cung chứa góc  dựng trên đoạn thẳng AB = 3cm (một cung).

Chứng minh:

+ O thuộc đường trung trực của AB

⇒ OA = OB

⇒ B thuộc đường tròn (O; OA).

Ax ⊥ AO ⇒ Ax là tiếp tuyến của (O; OA).

⇒ Góc BAx là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây AB

Lấy M ∈ cung AmB thì góc AMB là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AB

⇒ Cung AmB là cung chứa góc 55º dựng trên đoạn AB = 3cm.

Kết luận: Bài toán có một nghiệm hình.

a) là điểm bất kì nằm trong cung chứa góc (hình vẽ).

Gọi A’, B’ theo thứ tự là giao điểm của với cung tròn.

Ta có (góc nội tiếp chắn cung AB và cung AmB là cung chứa góc )

Vì là góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung A’B’ và AB nên:

Vậy

b) là điểm bất kì nằm ngoài đường tròn (hình vẽ )

Ta có lần lượt cắt đường tròn tại A’,  B’.

(góc nội tiếp chắn cung AB và cung AmB là cung chứa góc )

Vì góc là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn chắn cung A’B’ và AB nên:

Vậy

Vẽ hình minh họa

Dự đoán: Quỹ tích là đường tròn đường kính AB.

+ Phần thuận:

Tiếp tuyến TA vuông góc với bán kính BT tại tiếp điểm T.

Suy ra

Do AB cố định nên quỹ tích của T là đường tròn đường kính AB.

+ Phần đảo:

Lấy T thuộc đường tròn đường kính AB

⇒ AT ⊥ TB và BT < AB

⇒ AT tiếp xúc với đường tròn tâm B, bán kính BT < BA.

Kết luận: Quỹ tích các tiếp điểm là đường tròn đường kính AB.

Vẽ hình minh họa

Cách dựng:

+ Kẻ đoạn thẳng AB = 6cm

+ Dựng cung chứa góc trên đoạn BC.

– Vẽ đường trung trực d của đoạn BC

– Vẽ tia Bx tạo với BC góc

– Vẽ tia , tia By cắt đường thẳng d tại O. Vẽ cung BmC tâm O bán kính OB sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ BC không chứa Bx. Cung BmC chính là cung chứa góc 40^circ cần dựng.

+ Vẽ đường thẳng t song song với BC và cách BC một khoảng 4cm. Gọi giao điểm của đường thẳng t với cung BmC là A và A’.

Khi đó có hai tam giác thỏa mãn đề bài là ABC hoặc tam giác A’BC.

Chứng minh:

+ Theo cách dựng có BC = 6cm.

+ A ∈ cung chứa góc 40º dựng trên đoạn BC

+ A ∈ t song song với BC và cách BC 4cm nên chiều cao của tam giác ABC là 4cm.

Vậy ΔABC thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vẽ hình minh họa:

a) Gọi O là trung điểm AB. Xét đường tròn tâm O có là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên hay

Xét tam giác vuông MBI có

Suy ra không đổi và thỏa mãn

b) Phần thuận:

Khi điểm M thay đổi trên đường tròn đường kính AB thì điểm I thay đổi và luôn nhìn cạnh AB dưới một góc không đổi (với )

Vậy điểm I thuộc hai cung chứa góc sao cho dựng trên đoạn AB.

Nhưng tiếp tuyến PQ với đường tròn đường kính AB tại A là vị trí giới hạn của AM. Do đó điểm I thuộc hai cung PmB,Qm’B.

Hai điểm P, Q là các điểm giới hạn của quỹ tích, điểm B là điểm đặc biệt của quỹ tích

Phần đảo:

Lấy điểm I’ bất kỳ thuộc cung Qm’B (hoặc cung PmB). Nối AI’ cắt đường tròn tâm O tại M’. Ta chứng minh M’I’ = 2M’B.

Xét có là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên

Xét tam giác BM’I’ vuông ở M’ có (do I’ bất kỳ thuộc cung Qm’B là cung chứa góc dựng trên đoạn AB) nên mà

Kết luận: Quỹ tích các điểm I là hai cung PmB,Qm’B.

Vẽ hình

+) Ta có:  (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung BC). (1)

+) Lại có  (hai góc đối đỉnh)

Mà

(2)

+) Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên BI; CI lần lượt là tia phân giác góc B, góc C.

Xét tam giác ABC có

Xét tam giác BIC theo định lý về tổng 3 góc trong một tam giác ta có

Do đó  (3)

Từ (1), (2), (3) ta thấy các điểm O, H, I cùng nằm trên các cung chứa góc  dựng trên đoạn thẳng BC. Nói cách khác, năm điểm B, C, O,, H, I cùng thuộc một đường tròn.

Vẽ hình

Gọi vị trí đặt bóng để sút phạt đền là M, và bề ngang cầu môn là PQ thì M nằm trên đường trung trực của PQ.

Gọi H là trung điểm PQ,

Do M nằm trên đường trung trực của PQ nên MH vuông góc PQ.

Tam giác MPH vuông tại H, áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông ta có:

Vậy góc sút phạt đền là

Vẽ cung chứa góc  dựng trên đoạn thẳng PQ. Bất cứ điểm nào trên cung vừa vẽ cũng có “góc sút” như quả phạt đền 11m.