Giải Toán 9 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn Giải SGK Toán 9 Hình học Tập 1 (trang 76, 77)

Bạn đang xem bài viết Giải Toán 9 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn Giải SGK Toán 9 Hình học Tập 1 (trang 76, 77) tại Thptlequydontranyenyenbai.edu.vn bạn có thể truy cập nhanh thông tin cần thiết tại phần mục lục bài viết phía dưới.

Giải Toán 9 bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn giúp các em học sinh lớp 9 có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các bài tập phần câu hỏi và bài tập được nhanh chóng và dễ dàng hơn.

Giải Toán 9 trang 76, 77 giúp các em hiểu được thế nào là Tỉ số lượng giác của góc nhọn, các dạng toán thường gặp. Giải Toán 9 bài 2 được trình bày rõ ràng, cẩn thận, dễ hiểu nhằm giúp học sinh nhanh chóng biết cách làm bài, đồng thời là tư liệu hữu ích giúp giáo viên thuận tiện trong việc hướng dẫn học sinh học tập. Vậy sau đây là nội dung chi tiết Giải Toán lớp 9 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn, mời các bạn cùng tải tại đây.

Mục Lục Bài Viết

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn

1. Định nghĩa Tỉ số lượng giác của góc nhọn

$sin alpha = dfrac{{cạnh,đối}}{{cạnh,huyền}} = dfrac{{AB}}{{BC}};cos alpha = dfrac{{cạnh,kề}}{{cạnh,huyền}} = dfrac{{AC}}{{BC}}$

$tan alpha = dfrac{{cạnh, đối}}{{cạnh,kề}} = dfrac{{AB}}{{AC}};cot alpha = dfrac{{cạnh,kề}}{{cạnh,đối}} = dfrac{{AC}}{{AB}}$

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tính Tỉ số lượng giác của góc nhọn, tính cạnh, tính góc

Phương pháp:

Sử dụng các Tỉ số lượng giác của góc nhọn, định lý Py-ta-go, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán các yếu tố cần thiết.

Khám Phá Thêm: Soạn bài Những phát minh “bất ngờ và tình cờ” - Cánh Diều 6 Ngữ văn lớp 6 trang 98 sách Cánh Diều tập 2

Dạng 2: So sánh các tỉ số lượng giác giữa các góc

Phương pháp:

Bước 1 : Đưa các tỉ số lượng giác về cùng loại (sử dụng tính chất “Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia”)

Bước 2: Với góc nhọn $alpha ,,beta$ ta có: $sin alpha < sin beta Leftrightarrow alpha < beta ;cos alpha < cos beta Leftrightarrow alpha > beta ;$

$tan alpha < tan beta Leftrightarrow alpha < beta ;cot alpha < cot beta Leftrightarrow alpha > beta .$

Dạng 3: Rút gọn, tính giá trị biểu thức lượng giác

Phương pháp:

Ta thường sử dụng các kiến thức

+ Nếu $alpha$ là một góc nhọn bất kỳ thì

$0 < sin alpha < 1;0 < cos alpha < 1, tan alpha > 0;cot alpha > 0 , {sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1;tan alpha .cot alpha = 1$

$tan alpha = dfrac{{sin alpha }}{{cos alpha }};cot alpha = dfrac{{cos alpha }}{{sin alpha }};$

$1 + {tan ^2}alpha = dfrac{1}{{{{cos }^2}alpha }};1 + {cot ^2}alpha = dfrac{1}{{{{sin }^2}alpha }}$

+ Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Giải bài tập toán 9 trang 76, 77 tập 1

Bài 10 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 1)

Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn 34^o rồi viết các tỉ số lượng giác của góc 34^o.

Gợi ý đáp án

ΔABC vuông tại A có góc C = 34^o.

Khi đó:

Tỉ số lượng giác của góc $widehat{B}=34^o$ là:

$sin 34^o=sin B=dfrac{AC}{BC}$

$cos 34^o=cos B=dfrac{AB}{BC}$

$tan 34^o=tan B=dfrac{AC}{AB}$

$cot 34^o=tan C=dfrac{AB}{AC}$

Bài 11 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho tam giác ABC vuông tại C, trong đó AC = 0,9m, BC = 1,2m. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A.

Gợi ý đáp án

Xét $Delta{ABC}$ vuông tại C, áp dụng định lí Pytago, ta có:

$AB^2=CB^2+AC^2$

$Leftrightarrow AB^2=0,9^2+1,2^2 Leftrightarrow AB^2=0,81+1,44=2,25$

$Leftrightarrow AB=sqrt{2,25}=1,5m$

Vì $Delta{ABC}$ vuông tại C nên góc B và A là hai góc phụ nhau. Do vậy, ta có:

$sin A=cos B=dfrac{BC}{AB}=dfrac{1,2}{1,5}=dfrac{4}{5}$

$cos A=sin B=dfrac{AC}{AB} =dfrac{0,9}{1,5}=dfrac{3}{5}$

$tan A=cot B=dfrac{BC}{AC}=dfrac{1,2}{0,9}=dfrac{4}{3}$

$cot A=tan B=dfrac{AC}{BC}=dfrac{0,9}{1,2}=dfrac{3}{4}$

Nhận xét: Với hai góc phụ nhau, ta có sin góc này bằng cosin góc kia, tan góc này bằng cotan góc kia!

Bài 12 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 1)

Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45^o: sin60^o, cos75^o, sin52^o30′, cotg82^o, tg80^o

Gợi ý đáp án

(Áp dụng tính chất lượng giác của hai góc phụ nhau.)

Vì 60^o + 30^o = 90^o nên sin60^o = cos30^o

Vì 75^o + 15^o = 90^o nên cos75^o = sin15^o

Vì 52^o30′ + 37^o30′ = 90^o nên sin 52^o30’= cos37^o30′

Vì 82^o + 8^o = 90^o nên cotg82^o = tg8^o

Khám Phá Thêm: Luyện từ và câu: Mở rộng vốn từ: Du lịch - Thám hiểm trang 105 Luyện từ và câu lớp 4 Tuần 29 - Tiếng Việt Lớp 4 tập 2

Vì 80^o + 10^o = 90^o nên tg80^o = cotg10^o

Giải bài tập toán 9 trang 77 tập 1: Luyện tập

Bài 13 (trang 77 SGK Toán 9 Tập 1)

Gợi ý đáp án

Dựng góc nhọn $alpha$ , biết:

$a. sinalpha =dfrac{2}{3}$

Ta thực hiện các bước sau:

– Dựng góc vuông xOy. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

– Trên tia Ox lấy điểm A bất kỳ sao cho: OA=2.

– Dùng compa dựng cung tròn tâm A, bán kính 3. Cung tròn này cắt Oy tại điểm B.

– Nối A với B. Góc OBA là góc cần dựng.

Thật vậy, xét $Delta{OAB}$ vuông tại O, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$sin alpha = sin widehat{OBA} = dfrac{OA}{AB}=dfrac{2}{3}.$

b. $cosalpha =0,6$

Ta có: $cos alpha =0,6 = dfrac{3}{5}$

– Dựng góc vuông xOy. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

– Trên tia Ox lấy điểm A bất kỳ sao cho OA=3.

– Dùng compa dựng cung tròn tâm A bán kính 5. Cung tròn này cắt tia Oy tại B.

– Nối A với B. Góc $widehat{OAB}=alpha$ là góc cần dựng.

Thật vậy, Xét $Delta{OAB}$ vuông tại O, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$cos alpha =cos widehat{OAB}=dfrac{OA}{AB}=dfrac{3}{5}=0,6.$

$c. tan alpha =dfrac{3}{4}$

– Dựng góc vuông xOy. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

– Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA=4.

Trên tia Oy lấy điểm B sao cho OB=3.

– Nối A với B. Góc $widehat{OAB}$ là góc cần dựng.

Thật vậy, xét $Delta{OAB}$ vuông tại O, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$tan alpha =tan widehat{OAB}=dfrac{OB}{OA}=dfrac{3}{4}.$

$d. cot alpha =dfrac{3}{2}$

– Dựng góc vuông xOy. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

– Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA=3.

Trên tia Oy lấy điểm B sao cho OB=2.

– Nối A với B. Góc $widehat{OAB}$ là góc cần dựng.

Thật vậy, xét $widehat{OAB}$ vuông tại O, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$cot alpha =cot widehat{OAB}=dfrac{OA}{OB}=dfrac{3}{2}.$

Bài 14 (trang 77 SGK Toán 9 Tập 1)

Sử dụng định nghĩa tỉ số các lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng: Với góc nhọn $alpha$ tùy ý, ta có:

a) $tan alpha =dfrac{sinalpha }{cos alpha}; cot alpha =dfrac{cos alpha }{sin alpha }; tan alpha . cot alpha =1;$

$b) sin^{2} alpha +cos^{2} alpha =1$

Gợi ý đáp án

Xét $Delta{ABC}$ vuông tại A, có $widehat{ACB}=alpha.$

+) $Delta{ABC},$ vuông tại A, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

Khám Phá Thêm: Bộ đề thi học kì 1 môn tiếng Anh lớp 11 năm 2022 - 2023 6 Đề thi tiếng Anh lớp 11 học kì 1 (Có đáp án)

$sin alpha = dfrac{AB}{BC}, cos alpha =dfrac{AC}{BC}$

$tan alpha =dfrac{AB}{AC}, cot alpha =dfrac{AC}{AB}.$

* Chứng minh $tan alpha = dfrac{sin alpha}{cos alpha}.$

$VP=dfrac{sin alpha}{cos alpha}=dfrac{AB}{BC} : dfrac{AC}{BC}=dfrac{AB}{BC}.dfrac{BC}{AC}$

$=dfrac{AB.BC}{BC.AC}=dfrac{AB}{AC}= tan alpha =VT$

(Trong đó VT là vế trái của đẳng thức; VP là vế phải của đẳng thức)

* Chứng minh $cot alpha =dfrac{cos alpha}{sin alpha}.$

$VP=dfrac{cos alpha}{sin alpha}=dfrac{AC}{BC} : dfrac{AB}{BC}=dfrac{AC}{BC}. dfrac{BC}{AB}$

$=dfrac{AC.BC}{BC.AB}=dfrac{AC}{AB}=cot alpha=VT$

* Chứng minh $tan alpha . cot alpha =1.$

Ta có: $VT=tan alpha . cot alpha$

$= dfrac{AB}{AC}.dfrac{AC}{AB}=dfrac{AB.AC}{AC.AB}=1=VP$

b) $Delta{ABC}$ vuông tại A, áp dụng định lí Pytago, ta được:

$BC^2=AC^2+AB^2 (1)$

Xét $sin ^{2} alpha +cos^{2}alpha$

$;;;={left(dfrac{AB}{BC} right)^2}+ {left(dfrac{AC}{BC} right)^2}= dfrac{AB^{2}}{BC^{2}}+dfrac{AC^{2}}{BC^{2}}$

$;;;=dfrac{AB^2+AC^2}{BC^2} (2)$

Thay (1) vào (2) ta được:

$displaystyle {{A{B^2} + A{C^2}} over {B{C^2}}} = {{B{C^2}} over {B{C^2}}} = 1$

Như vậy $sin^{2} alpha +cos^{2} alpha =1$ (điều phải chứng minh)

Nhận xét: Ba hệ thức:

$tan alpha =dfrac{sin alpha }{cos alpha }; cot alpha =dfrac{cos alpha }{sin alpha }$ và $sin^{2} alpha +cos^{2} alpha =1$ là những hệ thức cơ bản bạn cần nhớ để giải một số bài tập khác.

Bài 15 (trang 77 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ . Biết $\cos B = 0, 8$ , hãy tính các tỉ số lượng giác của góc $C$ .

Gợi ý: Sử dụng bài tập 14.

Gợi ý đáp án

Xét tam giác ABC vuông tại A nên góc C nhọn. Vì thế:

$sin C>0; cos C>0; tan C>0; cot C>0$

Vì hai góc B và C phụ nhau $Rightarrow sin C = cos B = 0,8$

Áp dụng công thức bài 14, ta có:

$sin^{2}C+cos^{2}C=1 Leftrightarrow cos^{2}C=1-sin^{2}C$

$Leftrightarrow cos^2 C =1-(0,8)^{2} Leftrightarrow cos^2 C =0,36 Rightarrow cos C = sqrt{0,36}=0,6$

Lại có:

$tan C=dfrac{sin C}{cos C}=dfrac{0,8}{0,6}=dfrac{4}{3};$

$tan C .cot C=1 Leftrightarrow cot C= dfrac{1}{tan C}=dfrac{3}{4}$

Nhận xét: Nếu biết $sin alpha (hay cos alpha)$ thì ta có thể tính được ba tỷ số lượng giác còn lại.

Bài 16 (trang 77 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho tam giác vuông có một góc 60^o và cạnh huyền có độ dài là 8. Hãy tìm độ dài của cạnh đối diện với góc 60^o.

Gợi ý đáp án

Xét $Delta{ABC}$ vuông tại A có $widehat B=60^0$ , theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$sin B = dfrac{AC}{BC} Leftrightarrow sin 60^o = dfrac{AC}{8}$

$Leftrightarrow AC =8. sin 60^o=8.dfrac{sqrt 3}{2}=4sqrt 3.$

Vậy cạnh đối diện với góc $60^o$ là $AC=4sqrt 3.$

Bài 17 (trang 77 SGK Toán 9 Tập 1)

Tìm x trong hình 23.

Gợi ý đáp án

Kí hiệu như hình trên.

Ta có tam giác ABH là vuông cân (vì ∠B = 45^o) nên AH = 20.

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông AHC có:

x² = AH² + HC² = 20² + 21² = 841

=> x = √841 = 29

Cảm ơn bạn đã xem bài viết Giải Toán 9 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn Giải SGK Toán 9 Hình học Tập 1 (trang 76, 77) tại Thptlequydontranyenyenbai.edu.vn bạn có thể bình luận, xem thêm các bài viết liên quan ở phía dưới và mong rằng sẽ giúp ích cho bạn những thông tin thú vị.

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Giải bài tập toán 9 trang 76, 77 tập 1

Bài 10 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 1)

Bài 11 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 1)

Bài 12 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 1)

Giải bài tập toán 9 trang 77 tập 1: Luyện tập

Bài 13 (trang 77 SGK Toán 9 Tập 1)

Bài 14 (trang 77 SGK Toán 9 Tập 1)

Bài 15 (trang 77 SGK Toán 9 Tập 1)

Bài 16 (trang 77 SGK Toán 9 Tập 1)

Bài 17 (trang 77 SGK Toán 9 Tập 1)

Bài Viết Liên Quan