Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ĐH Khoa học tự nhiên năm 2011 – 2012 Môn: Toán (vòng 1 + vòng 2) – có đáp án

Mục Lục Bài Viết ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2011 – 2012

Môn: TOÁN (Vòng 1)
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu I.

1) Giải hệ phương trình:

2) Giải phương trình:

Câu II.

1) Chứng minh rằng không tồn tại các bộ ba số nguyên (x, y, z) thỏa mãn đẳng thức: x⁴ + y⁴ = 7z⁴ + 5

2) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đẳng thức: (x + 1)⁴ – (x – 1)⁴ = y³

Câu III.

Cho hình bình hành ABCD với góc BAD < 90^o .Đường phân giác của góc BCD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O khác C. Kẻ đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với CO. Đường thẳng (d) lần lượt cắt các đường thẳng CB, CD tại E, F.

1) Chứng minh rằng ∆OBE = ∆ODC.

2) Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF.

3) Gọi giao điểm của OC và BD là I, chứng minh rằng IB.BE.EI = ID.DF.FI

Câu IV.

Với , x y là những số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Môn: TOÁN (Vòng 2)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu I.

1) Giải phương trình:

2) Giải hệ phương trình:

Câu II.

1) Với mỗi số thực a ta gọi phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất không vượt quá a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, biểu thức không biểu diễn được dưới dạng lập phương của một số nguyên dương.

2) Với x, y, z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy + yz + zx = 5, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu III.

Cho hình thang ABCD với BC song song AD. Các góc BAD và CDA là các góc nhọn. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I. P là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng BC (P không trùng với B, C). Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác BIP cắt đoạn thẳng PA tại M khác P và đường tròn ngoại tiếp tam giác CIP cắt đoạn thẳng PD tại N khác P.

1) Chứng minh rằng năm điểm A, M, I, N, D cùng nằm trên một đường tròn. Gọi đường tròn này là (K).

2) Giả sử các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại Q, chứng minh rằng Q cũng nằm trên đường tròn (K)

3) Trong trường hợp P, I, Q thẳng hàng, chứng minh rằng

Câu IV.

Giả sử A là một tập con của tập các số tự nhiên ℕ. Tập A có phần tử nhỏ nhất là 1, phần tử lớn nhất là 100 và mỗi x thuộc A (x ≠ 1) luôn tồn tại a, b cũng thuộc A sao cho x = a + b (a có thể bằng b). Hãy tìm một tập A có số phần tử nhỏ nhất.

Download tài liệu để xem thêm chi tiết.