Bất đẳng thức Cauchy – Cô-si trong Toán học

Bất đẳng thức Cauchy hay nhiều người còn gọi là bất đẳng thức Cô-si rất quen thuộc trong Toán học. Trong kiến thức bên dưới chúng tôi sẽ gửi đến các bạn về các nội dung của bất đẳng thức và các các hệ quả, chứng minh minh họa cho bất đẳng thức này. Kiến thức rất cần thiết cho học sinh tham khảo khi bắt đầu bài học hoặc ôn lại kiến thức toán học về bất đẳng thức Cauchy – Cô-si  nhanh chóng.

Nội dung bất đẳng thức Cauchy

Bất đẳng thức Cauchy trong toán học là bất đẳng so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm. Nội dung bất đẳng thức chi tiết như sau: Trung bình cộng của n số thực không âm sẽ luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Còn trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

Trường hợp 2 số:

Trường hợp n số:

Quy tắc chứng minh bất đẳng thức

Quy tắc song hành: các bất đẳng thức có tính đối xứng, vì vậy chứng minh một cách song hành, tuần tự giúp chứng minh bất đẳng thức.

Quy tắc dấu bằng: dấu bằng = giúp ta kiểm tra tính đúng đắn trong quá trình chứng minh. Dấu bằng giúp định hướng phương pháp giải.

Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: học sinh khi chứng minh bất đẳng thức thường hay mắc sai lầm. Nguyên tắc áp dụng song hành các bất đẳng thức là điểm rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là dấu “ = ” thỏa mãn với cùng điều kiện trong biến.

Quy tắc biên: quy tắc biên thuộc các bài toán quy hoạch tuyến tính,  bài toán tối ưu, bài toán cực trị có điều kiện, giá trị lớn nhất nhỏ nhấ.

Quy tắc đối xứng: các bất đẳng thức hay có tính đối xứng, các biến như nhau do đó dấu “ = ” .

Hệ quả bất đẳng thức Cauchy

Hệ quả bất đẳng thức Cauchy được ứng dụng trong việc giúp chúng ta tìm ra các giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức. Hệ quả chia thành 2 như sau:

Hệ quả 1: Nếu tổng hai số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.

Hệ quả 2: Nếu tích hai số dương không đổi thì tổng hai số này nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau.

Trung bình có hệ số

Cho n số x1, x2,…, xn ≥ 0 và hệ số α1, α2,…, αn > 0.

Ta đặt:

Bất đẳng thức trung bình cộng & trung bình nhân sẽ đúng nếu hai giá trị trung bình có hệ số là như nhau:

Dấu  bằng ” = ” sẽ xảy ra khi và chỉ khi x1=x2=…=xn.

Các loại trung bình khác

Trung bình điều hòa ≤ trung bình nhân ≤ trung bình cộng

Chứng minh bằng quy nạp

Ta đặt:

bất đẳng thức tương đương với
x1,…,xn đó là các số thực không âm, ta có:

dấu bằng xảy ra và nếu μ = xi với mọi i = 1,…,n.

Chứng minh Cauchy

Khi tất cả giá trị bằng nhau

Nếu tất cả các giá trị bằng nhau: x1=x2=…=xn.

tổng là nx1, giá trị trung bình cộng là x1, tích số dưới căn bậc hai là x1n, iá trị trung bình nhân lúc này là x1. Vế 1 và vế 2 bằng nhau.

Trường hợp giá trị không bằng nhau

Các giá trị bằng nhau không bằng nhau, giá trị trung bình cộng lớn hơn giá trị trung bình nhân. xảy ra khi n> 1.

Với n=2

Nếu n= 2, có 2 giá trị đó là x1 và x2:

Với n = 2^k

Xem n= 2 ^k, khi k là một số nguyên dương. Tiến hành bằng cách quy nạp toán học.

Trong trường hợp k = 1, tức n = 2, bất đẳng thức được chứng minh.

Khi giá trị k> 1 ất đẳng thức đúng với n = 2^k−1, cần chứng minh nó vẫn đúng khi n = 2^k.

Với n k

Nếu n không phải hàm mũ tự nhiên cơ số 2, suy ra nó nhỏ hơn một số nào đó theo hàm mũ tự nhiên cơ số 2, vì chuỗi 2, 4, 8,…, 2k,… không bị chặn. Với m giá trị tuân theo hàm mũ tự nhiên cơ số 2 lớn hơn n.

Nếu có n số, biểu diễn giá trị trung bình cộng α và mở rộng:

Ta có:

Như vậy:

Xem thêm: 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

Các bạn vừa theo dõi nội dung về bất đẳng thức Cauchy – Cô-si trong chương trình Toán học trung học. Nắm nội dung và kiến thức về bất đẳng thức sẽ thực hiện tốt các bài tập liên quan và từ đó có điểm cao trong các bài kiểm tra, thi cử. Chúc các bạn học tốt môn toán.