Bất đẳng thức am-gm là gì và những điều cần biết

Bất đẳng thức đáng nhớ là kiến thức quan trọng trong chương trình Toán học cho các em học sinh. Có rất nhiều bất đẳng thức mà học sinh phải ghi nhớ khi còn ngồi trên ghế nhà trường.  Một trong số đó là bất đẳng thức am-gm. Vậy bất đẳng thức am-gm là gì, công thức vận hành như thế nào thì hãy cùng Reviewedu.net tìm hiểu qua bài viết dưới đây nhé!

Bất đẳng thức am-gm là gì?

• Khi một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của tất cả các biến có mặt trong bất đẳng thức, thì được gọi là bất đẳng thức tuyệt đối hay không điều kiện.
• Khi một bất đẳng thức đúng với một số giá trị nào đó của biến, với các giá trị khác thì nó bị đổi chiều hay không còn đúng nữa thì được gọi là một bất đẳng thức có điều kiện. Một bất đẳng thức đúng, sẽ vẫn đúng nếu cả hai vế của nó được thêm vào hoặc bớt đi cùng một giá trị, hay nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia với cùng một số dương.
• Một bất đẳng thức sẽ bị đảo chiều nếu cả hai vế của nó thực hiện nhân hay chia bởi một số âm. Đây là những kiến thức cơ bản nhưng quan trọng cho các bất đẳng thức đáng nhớ.

Chứng minh bất đẳng thức am-gm

Bất đẳng thức AM-GM được phát biểu như sau:

với (*) là các số thực không âm bất kì.

Còn gọi là bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức AM-GM tổng quát có nhiều cách chứng minh rất độc đáo và ngắn gọn. Đây là một cách chứng minh của Kongming-Chong (Malaysia):

Trước hết, đặt , khi đó bất đẳng thức trên tương đương với .

Nếu  thì (*) trở thành đẳng thức, vì: .

Nếu  không bằng nhau thì phải có bất đẳng thức thực sự:

(1) .

Ta chứng minh (1) bằng qui nạp.

Dễ thấy (1) đúng với n = 2, tức là .

Giả sử (1) đúng với n – 1 số không bằng nhau tất cả có trung bình cộng là T. Ta phải chứng minh (1) đúng với n.

Thật vậy, trong các số không bằng nhau tất cả phải có một số bé hơn T và một số lớn hơn T, giả sử là a1 và a2 : . Do đó ta có hay là . Ta xét số không âm sau đây: . Dễ thấy n – 1 số nói trên không bằng nhau tất cả nên theo giả thiết quy nạp thì: .

Vậy  (đpcm).

Bài tập ứng dụng bất đẳng thức am-gm

Các hệ quả của bất đẳng thức

Tính chất 1: Tính chất bắc cầu

Với mọi số thực a, b, c Ta có: (left{begin{matrix} a & > &b b & > & c end{matrix}right. Rightarrow a>c)

Tính chất 2: Tính chất liên quan đến phép cộng và phép trừ hai vế của một số

Tính chất này được phát biểu như sau: Phép cộng và phép trừ với cùng một số thực bảo toàn quan hệ thứ tự trên tập số thực

Quy tắc cộng hai vế với một số: (a>b Leftrightarrow a+c>b+c)

Trừ hai vế với cùng một số: (a>b Leftrightarrow a-c>b-c)

Hệ quả 1: Chuyển vế : (a+c>bLeftrightarrow a>b-c)

Tính chất 3: Quy tắc cộng hai bất đẳng thức cùng chiều

(left{begin{matrix} a & > & b c& > & d end{matrix}right.Rightarrow a+c > b+d)

Tính chất 4: Tính chất liên quan đến phép nhân và phép chia hai vế của một bất đẳng thức

Phép nhân (hoặc chia) với một số thực dương bảo toàn quan hệ thứ tự trên tập số thực, phép nhân (hoặc chia)với một số thực âm đảo ngược quan hệ thứ tự trên tập số thực.

Quy tắc nhân hai vế với cùng một số: (a>b Leftrightarrow left{begin{matrix} ac &> &bc (c> 0) ac &

Quy tắc chia hai vế với cùng một số: (a>b Leftrightarrow left{begin{matrix} frac{a}{c} &> &frac{b}{c} (c> 0) frac{a}{c} &

Hệ quả 2: Quy tắc đổi dấu hai vế: (a>bLeftrightarrow -a

Tính chất 5: Quy tắc nhân hai vế hai bất đẳng thức cùng chiều: (left{begin{matrix} a & > & b & > & 0 c& > & d & > & 0 end{matrix}right. Rightarrow ac>bd)Tính chất 6: Quy tắc nghịch đảo hai vế: (a>b>0 Leftrightarrow 0Tính chất 7: Quy tắc nâng lên lũy thừa bậc n: (a>b>0, nin N* Rightarrow a^{n}>b^{n})Tính chất 8: Quy tắc khai căn bậc n: (a>b>0, nin N* Rightarrow sqrt{a}>sqrt{b})

Hệ quả: Quy tắc bình phương hai vế

Nếu a và b là hai số dương thì: (a>bLeftrightarrow a^{2}>b^{2})

Nếu a và b là hai số không âm thì: (ageq bLeftrightarrow a^{2}geq b^{2})

Xem thêm:

Bất đẳng thức logarit

Bất đẳng thức tam giác

Bất đẳng thức bunhiacopxki