Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử Bài tập Toán lớp 8

Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung hết sức quan trọng, việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú, đa dạng cho việc học sau này như rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, giải phương trình.

Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử không khó, nhưng vẫn còn nhiều học sinh làm sai hoặc chưa thực hiện được, chưa nắm vững chắc các phương pháp giải, chưa vận dụng kĩ năng biến đổi một cách linh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán cụ thể. Chính vì vậy trong bài viết hôm nay Thptlequydontranyenyenbai.edu.vn xin giới thiệu đến các bạn phương pháp giải và một số bài tập kèm theo. Hi vọng qua tài liệu này các bạn nhanh chóng biết cách giải các bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử.

I. Phân tích đa thức thành nhân tử là gì?

1. Định nghĩa:

Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

Ví dụ:

a) 2x²+ 5x – 3 = (2x – 1).(x + 3)

b) x – 2y +5– 10y = [()²– 2 y ] + (5– 10y)

= (– 2y) + 5(– 2y)

= (– 2y)( + 5)

II. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

a) Phương pháp đặt nhân tử chung:

Nếu tất cả các hạng tử của đa thức có một nhân tử chung thì đa thức đó được biểu diễn thành một tích của nhân tử chung với một đa thức khác.

Công thức:

AB + AC = A(B + C)

Ví dụ:

1. 5x(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)(5x – 2)

2. 3x + 12 y = 3 ( + 4y)

b) Phương pháp dùng hằng đẳng thức:

Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức.

*Những hằng đẳng thức đáng nhớ:

(A + B)² = A² + 2AB + B²

(A – B)² = A² – 2AB + B²

A² – B² = (A + B)(A – B)

(A+B)³= A³ + 3A²B + 3AB² + B³

(A – B)³= A³ – 3A²B + 3AB²-B³

A³ + B³ = (A+B) (A² – AB + B²)

A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²)

c) Phương pháp nhóm hạng tử:

Nhóm một số hạng tử của một đa thức một cách thích hợp để có thể đặt được nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ.

Ví dụ:

1. x² – 2xy + 5x – 10y = (x²– 2xy) + (5x – 10y) = x(x – 2y) + 5(x – 2y)

= (x – 2y)(x + 5)

2. x – 3+ y – 3y = (x – 3) + (y – 3y)

= ( – 3) + y( – 3)= (- 3)( + y)

d. Phương pháp tách một hạng tử:(trường hợp đặc biệt của tam thức bậc 2 có nghiệm)

Tam thức bậc hai có dạng: ax² + bx + c = ax² + b₁x + b₂x + c () nếu

Ví dụ:

a) 2x²–3x + 1

= 2x²– 2x – x +1

= 2x(x – 1) – (x – 1)

= (x – 1)(2x – 1)

e. Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:

Ví dụ:

a) y⁴+ 64 = y⁴+ 16y² + 64 – 16y²

= (y² + 8)² – (4y)²

= (y² + 8 – 4y)(y² + 8 + 4y)

b) x²+ 4 = x²+ 4x + 4 – 4x = (x + 2)²– 4x

= (x + 2)²– =

f. Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp:

Ví dụ:

a) a³–a²b – ab² + b³ = a²(a – b) – b²(a – b)

=(a – b) (a²– b²)

= (a – b) (a – b) (a + b)

= (a – b)²(a + b)

III. Bài tập áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) 14x²– 21xy²+ 28x²y² = 7x(2x – 3y² + 4xy²)

b) 2(x + 3) – x(x + 3) = (x+3)(2-x)

c) x²+ 4x – y²+ 4 = (x + 2)² – y² = (x + 2 – y)(x + 2 + y)

Bài 2: Giải phương trình sau :

2(x + 3) – x(x + 3) = 0

Vậy nghiệm của phương trình là x₁ = –3: x₂ = 2

Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a)8x³+ 4x²– y³– y² = (8x³– y³) + (4x²– y²)

b) x²+ 5x –6 = x² + 6x – x – 6

= x(x + 6) – (x + 6)

= (x + 6)(x – 1)

c. a⁴ + 16 = a⁴+ 8a² + 16 – 8a²

= (a² + 4)² – (a)²

= (a² + 4 +a)( a² + 4 – a)

Bài 4: Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử:

a) (x⁵+ x³+ x² + 1):(x³ + 1)

b) (x²–5x + 6):(x – 3)

Giải:

a) Vì x⁵+ x³+ x² + 1

= x³(x² + 1) + x² + 1

= (x² + 1)(x³ + 1)

nên (x⁵ + x³ + x² + 1):(x³ + 1)

= (x² + 1)(x³ + 1):(x³ + 1)

= (x² + 1)

b)Vì x²– 5x + 6

= x²– 3x – 2x + 6

= x(x – 3) – 2(x – 3)

= (x – 3)(x – 2)

nên (x²– 5x + 6):(x – 3)

= (x – 3)(x – 2): (x – 3)

= (x – 2)

Bài 5 

Thực hiện phép chia đa thức sau đây bằng cách phân tích đa thức bị chia thành nhân tử:

Giải:

nên

nên

Bài 6

IV. Bài tập tự luyện phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x²– y² – 2x + 2y

b) 2x + 2y – x² – xy

c) 3a²– 6ab + 3b² – 12c²

d) x² – 25 + y² + 2xy

e) a²+ 2ab + b² – ac – bc

f) x² – 2x – 4y² – 4y

g) x²y – x³– 9y + 9x

h) x²(x -1) + 16(1- x)

Bài 2:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Bài tập 3: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1. x²+ 2xy – 8y²+ 2xz + 14yz – 3z²

2. 3x²– 22xy – 4x + 8y + 7y²+ 1

3. 12x²+ 5x – 12y²+ 12y – 10xy – 3

4. 2x²– 7xy + 3y²+ 5xz – 5yz + 2z²

5. x²+ 3xy + 2y²+ 3xz + 5yz + 2z²

6. x²– 8xy + 15y²+ 2x – 4y – 3

7. x⁴– 13x²+ 36

8. x⁴+ 3x²– 2x + 3

9. x⁴+ 2x³+ 3x² + 2x + 1

Bài tập 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:

1. (a – b)³+ (b – c)³+ (c – a)³

2. (a – x)y³– (a – y)x³– (x – y)a³

3. x(y²– z²) + y(z²– x²) + z(x² – y²)

4. (x + y + z)³– x³– y³ – z³

5. 3x⁵– 10x⁴– 8x³ – 3x² + 10x + 8

6. 5x⁴+ 24x³– 15x² – 118x + 24

7. 15x³+ 29x²– 8x – 12

8. x⁴– 6x³+ 7x² + 6x – 8

9. x³+ 9x²+ 26x + 24

Bài tập 5: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1. a(b + c)(b²– c²) + b(a + c)(a²– c²) + c(a + b)(a² – b²)

2. ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)

3. a(b²– c²) – b(a²– c²) + c(a² – b²)

4. (x – y)⁵+ (y – z)⁵+ (z – x)⁵

5. (x + y)⁷– x⁷– y⁷

6. ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc

7. (x + y + z)⁵– x⁵– y⁵ – z⁵

8. a(b²+ c²) + b(c²+ a²) + c(a² + b²) + 2abc

9. a³(b – c) + b³(c – a) + c³(a – b)

10. abc – (ab + bc + ac) + (a + b + c) – 1

Bài tập 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1. (x²+ x)²+ 4x² + 4x – 12

2. (x²+ 4x + 8)²+ 3x(x² + 4x + 8) + 2x²

3. (x²+ x + 1)(x²+ x + 2) – 12

4. (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24

5. (x²+ 2x)²+ 9x² + 18x + 20

6. x²– 4xy + 4y²– 2x + 4y – 35

7. (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16

8. (x²+ x)²+ 4(x² + x) – 12

9. 4(x²+ 15x + 50)(x²+ 18x + 72) – 3x²

Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1.	16x3y + 0,25yz3	21.	(a + b + c)2 + (a + b – c)2 – 4c2
2.	x 4 – 4x3 + 4x2	22.	4a2b2 – (a2 + b2 – c2)2
3.	2ab2 – a2b – b3	23.	a 4 + b4 + c4 – 2a2b2 – 2b2c2 – 2a2c2
4.	a 3 + a2b – ab2 – b3	24.	a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3)
5.	x 3 + x2 – 4x – 4	25.	a 6 – a4 + 2a3 + 2a2
6.	x 3 – x2 – x + 1	26.	(a + b)3 – (a – b)3
7.	x 4+ x3 + x2 – 1	27.	X 3 – 3x2 + 3x – 1 – y3
8.	x 2y2 + 1 – x2 – y2	28.	X m + 4 + xm + 3 – x – 1
10.	x 4 – x2 + 2x – 1	29.	(x + y)3 – x3 – y3
11.	3a – 3b + a2 – 2ab + b2	30.	(x + y + z)3 – x3 – y3 – z3
12.	a 2 + 2ab + b2 – 2a – 2b + 1	31.	(b – c)3 + (c – a)3 + (a – b)3
13.	a 2 – b2 – 4a + 4b	32.	x3 + y3+ z3 – 3xyz
14.	a 3 – b3 – 3a + 3b	33.	(x + y)5 – x5 – y5
15.	x 3 + 3x2 – 3x – 1	34.	(x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3
16.	x 3 – 3x2 – 3x + 1	35.	x3 – 5x2y – 14xy2
17.	x 3 – 4x2 + 4x – 1	36.	x4 – 7x2 + 1
18.	4a2b2 – (a2 + b2 – 1)2	37.	4x4 – 12x2 + 1
19.	(xy + 4)2 – (2x + 2y)2	38.	x2 + 8x + 7
20.	(a2 + b2 + ab)2 – a2b2 – b2c2 – c2a2	39.	x3 – 5x2 – 14x

Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử.

1.	x4y4 + 4	6	x7 + x2 + 1
2.	x4y4 + 64	7	x8 + x + 1
3.	4 x4y4 + 1	8	x8 + x7 + 1
4.	32x4 + 1	9	x8 + 3x4 + 1
5.	x4 + 4y4	10	x10 + x5 + 1